如何提高数学技能

对大多数人而言，数学是一门棘手的科目，尤其是当你没有合适的方法与技巧的时候则更是如此。不过，只要你知道如何有策略地处理它，学好的概率也会大很多，也就不那么令人沮丧了。本文详细介绍了如何评估、分解和成功地完成数学中的任务，以及如何避免陷入困境。

下图是本文相应的思维导图，方便大家梳理思路。

第一部分：培养数学思维

▌1.1 玩数学游戏

数学游戏是锻炼你数学技能的好工具，操作它是为了让你在做的过程中获得乐趣。这里推荐一些数学游戏，包括但不限于:

• 数独： 通过逻辑演算完成游戏，不仅可以激发学习潜能，还可以训练专注力和逻辑分析能力。
• 纪念碑谷系列： 它将数学融入了一个角色扮演游戏中，玩家可以在一个充满吸引力的幻想世界中运用数学，感受数学元素所带给你的迷幻、神秘和优雅。
• 其它许多富有成效的游戏都可以在网上或应用商店中找到，所以四处看看，找到最适合你需求和目标的游戏。

▌1.2 了解"为何"、清楚"如何"

当我们所做的只是记住一个基本对自己来说毫无意义的公式时，就很容易对数学感到失望，没什么动力去学习。但如果努力去真正理解这个公式背后的原理，对数学的理解就会变得更深刻，更有成效。

• 先了解下背景。假设正在学习勾股定理(毕达哥拉斯定理)。何为勾股？毕达哥拉斯又是谁？这跟三角形有什么关系？为什么以这样名字命名的定理的？对一个数学概念的发展和更多的意义有个基本感觉，可以把它仅仅需要记忆的东西变成我们真正理解和感兴趣的东西。
• 把数学原理翻译成日常语言。根据勾股定理，你知道勾股定理的基本定义是 a²+b²=c²，但这在日常语言中意味着什么呢？试着弄清楚。翻译它可能会得到这样的结果，例如:三角形最长边的平方等于另两条边的平方之和。把这个原则翻译成日常的、无压力的语言可以帮助你更容易地理解、记忆和应用这个原则。
• 探索这个新原理——在毕达哥拉斯定理的例子中，尝试将这个定理应用于三角形之外的其他形状。它可以被翻译成其他形状，如矩形、六边形、正方形等吗？为什么或为什么不？理解为什么某个原则只适用于某些实例而不适用其他实例，将有助于您在前进过程中更好地集成和应用该原理。

▌1.3 让数学成为你生活的一部分

把数学融入到日常生活中，帮助保持敏锐的数感技能，让我们认识到数学就是存在于周围的方方面面。

• 这个例子虽说是个笑话，倒也能说明其中道理：和哥们去吃披萨。点了个 12 寸的，过了一会儿，服务员出来说：抱歉现在做不了 12 寸的，您看换成两个 6 寸的可以吗？哥们听了一拍桌子：“圆的面积 πr² 。应该是四个 6 寸才等于一个 12 寸的”。这里甚至说要是不喜欢吃披萨饼边的话，其实我们都还可以跟店家再商量折扣。

第二部分：课前准备

▌2.1 准备一个有条理的活页夹或笔记本

为数学课指定一个单独的活页夹或笔记本(如果你上多门数学专业课，每个课一个活页夹或笔记本)。

• 设置一个课堂笔记区，一个阅读笔记区，一个记录作业的区域。

▌2.2 安排学习时间

在日程表中留出时间做数学作业和学习，否则就可能会造成拖延，发现自己落后于计划，或者在不适宜的时间来学习。

• 每天抽时间做数学题。即使没有每天的家庭作业，也要留出至少 15 分钟来做例题和复习笔记。每天学习有助于巩固数学知识，让需要的时候才会更快进入到学习角色中来。
• 在大学阶段，每 1 个课时可以都需要计划每周大约需要 2-4 个小时的课来学习这门课。
• 数学学习中的练习对最后成功是很重要的。

▌2.3 预习工作

请提前阅读下一节课所涉及的章节。

• 在上课前了解这一章的主要思想和内容将帮助我们更好地理解和跟上课堂上的材料。

▌2.4 课前复习笔记

在下节课前，把上节课的笔记通读一遍，这样就能跟上进度，为新知识做准备。

• 阅读以前的笔记将帮助我们在新旧内容之间建立必要的联系，并为建立新知识打下更坚实的基础。

第三部分：课堂学习

▌3.1 按时上课

这是显而易见的，如果不去学习课程，就很难在一门课上取得好成绩。

• 尽量坐在教室的前面和中间。它将更容易看到板书和听得清楚，也更难分心。

▌3.2 培养良好的记笔记技巧

虽然我们做笔记的目的似乎只是为了记下老师说了什么，但成功的笔记不仅写的内容有关，也与如何组织有关。

• 如果材料覆盖密切相关教材中介绍的内容,你可以使用所谓的 “2 列” 笔记法：用 80% 页面宽度来做课堂笔记，留下 20% 留白记录自己“复习线索”。
• 如果课堂上讲的内容和教材所写不太相关，就用“3 列”技术。40% 留给课堂笔记，40% 留教材，20% 留出给自己“复习线索”。
• “复习线索”应该是关键字或短语，在笔记的每个部分标记信息的种类。这些应该是浓缩的提示，而不是大量的或重复的笔记，这样就可以很容易地浏览我们记录下的笔记，并将它们与相关的概念串联起来。

▌3.3 提问

当有问题时，不要害怕问。

• 如果羞于在老师讲课的时候问问题，那就及时把问题写下来，在课后或者合适时候和老师讨论。

第四部分：课后练习

▌4.1 优先学习数学

每天在相同的时间，相同的地点，留出时间来学习数学。这样做可以帮助我们避免拖延，也更容易进入**“数学”专注模式**(而不是坐着茫然地盯着数学书 10 分钟)。

• 全身心投入学习时间后，奖励自己做一些喜欢的事情。它会激励完成数学作业，把它和一些正向、愉快的事情联系起来。
• 每小时休息一次。不要试图连续四个小时不间断地做数学题——绝大数人是将无法保持必要的注意力，很快就会筋疲力尽。取而代之的是，每隔一段时间(30 分钟或一小时)休息一下，站起来，伸伸懒腰，喝杯饮料，或者上个厕所。

▌4.2 养成良好的学习习惯

我们的学习习惯对自己在数学上的成功有很大的影响。这不仅仅是关于学习时间的数量，而是关于学习质量。

• 找个学习伙伴来一起行动。有一个能讨论或解答问题，并能指出错误的人，这对有效的学习是至关重要的。
• 如果遇到了自己伙伴都无法回答的问题，把它们写下来，交给老师。
• 做笔记卡片。把重要的概念和公式写在记事卡上，这样在做题的时候就可以很容易地参考它们，并在考试前用作学习指南。
• 在一个安静的地方学习。无论是听觉还是视觉上的分心都会降低集中注意力和记忆信息的能力。
• 当清醒时候学习。不要强迫自己在深夜或睡眠不足的时候学习。这将不能充分集中精力，这将导致无意的错误和学习上的挫折。

▌4.3 有目的地阅读

当我们坐下来阅读教科书中的数学部分时，要有策略地阅读。

• 首先聚焦概述。阅读标题和开头，然后阅读引言和总结段落，让自己对主题有一个全局的认识。
• 寻找主题思想。接下来，浏览该部分以收集主要思想：寻找并阅读粗体或斜体的单词、项目符号列表、图片和表格。
• 阅读全文。接下来，从头到尾通读这一节——这应该会进行得比较快，因为已经对这一节的要点和主要思想有了一个概念。
• 手里拿着铅笔读书。写出并完成所给的每个例题。这将帮助积极地吸收所演示的内容，并帮助尽早识别问题概念。
• 把这部分放在一边，写下主要思想。阅读之后，我们的记忆力往往会立刻衰退，所以花点时间回想一下刚刚读过的内容，会给带来很大的记忆力优势。
• 建立联系。想想学过的新知识是如何与之前学过的知识相联系并建立起来的。建立这些联系将帮助你更好地理解和整合新材料。
• 复习。最后，在阅读、反思和完成新材料后，随着时间的推移，在离考试越来越近时，还需要用到它。

▌4.4 在进行下一个概念之前，先掌握当前这个概念

在数学中，每一个知识点都建立在上一个知识点的基础上，所以，就像阅读一样，如果没有掌握所有必要的步骤，但也很难取得进步、走得更远。

• 如果正为吃透一个特别的难点或概念而苦恼，不要轻易地跳过它。相反，应该向老师寻求帮助，直到掌握了这个概念。

▌4.5 把问题做得整洁、完整

不要试图在头脑中解决数学问题。相反，写出解决方案的每一步，不要跳过每一步。

• 如果不把每一步都写下来，可能不会意识到我们所犯的错误，并且在试图改正错误并从错误中吸取教训时，就很可能再次掉入同一个坑中。
• 做数学题要垂直而工整地做题，每行只能做一步。
• 工整的作业步骤不仅会更容易系统地解决问题，避免出错，而且很多老师还会根据解题步骤的完整性来给数学题评分，而不仅仅是根据解题本身。

▌4.6 制定一个解决每个问题的计划

当遇到一个数学难题时，往往无处下手，但是有一个基本的解题策略或许可以有帮助。

• 理解这个问题。从阅读整个问题开始，确定它要求解决什么问题。
• 确定需要哪些技能和概念来解决问题。这将给我们一个整体的感觉，需要做什么来找到解决方案。
• 对于应用题，勾画出场景，而不是试图在脑海中描绘它。即使这个问题包括一个草图，也要自己做——如果它能帮助解决这个问题，那么它对我们来说是有意义的是很重要的。
• 回顾自己的解决方案。检查你的过程，检查是否已经回答了问题，现在的解决方案是否有意义。如果它看起来还未达成目标的，回顾流程，寻找错误。

▌4.7 适量做题

刷题无涯，回头是岸。做一些课后习题，帮助我们复习、思考、维持大脑运转，要不断地向后学。返回来做习题也能帮自己理清头绪，把握是否真正掌握了这个知识点。并且，做题并不是单纯地解题，其中还有许多要注意的地方。

• 要注意了解思想，掌握思想。每一个数学分支都有自己的主线思想和方法论，不同分支也有相互可供对比和借鉴的思维方式。留意它，模仿它，琐碎的知识就串成了一条项链，清楚了整个脉络，也就掌握了一门课。
• 注意渐进式迂回，前后对比。将相同类型的题目相互对比着看，或者解决完一道题然后再看下同一主题的另一道题，已经熟悉的内容跳过去，如果无法成功解题，停下来思考，还是不懂则往后退一退，从能看懂的部分向前推进，当解题多了，就会发现一个东西出现在很多地方，对它的理解就加深了。

Part 5 拓展应用

▌5.1 建立不同学科的联系

看到一个东西在很多地方用，我们对它的理解就加深了，慢慢也就能体会到这个东西的精妙，最后会发现所有的基础学科相互交织，又在后续应用中相互帮助，切实体会到它们真的很基础，很有用。这是一种体会数学乐趣的途径。

▌5.2 关注应用学科

没有什么比应用更能激发你对新知识、新工具的渴望。找一些感兴趣的应用学科教材，读一读，开阔眼界，为自己的未来积累资源。

• 学会了微积分，就可以无压力阅读《费恩曼物理学讲义第一卷》，了解力、热、光、时空的奥秘。
• 学了矩阵论，可以买一本《计算机视觉中的多视图几何》，了解成像的奥秘，编程进行图像序列的三维重建。
• 学了概率论，可以翻阅机器学习领域的两本经典著作《Pattern Recognition And Machine Learning》和《The Elements of Statistical Learning》，欣赏基础数学为机器学习领域提供的丰硕成果和深刻见解。

高等数学的应用实在太多了，如果你喜欢编程，自动化、机器人、计算机视觉、模式识别、数据挖掘、图形图像、信息论和密码学......到处都有大量模型供你玩耍，而且只需要一点高等数学。在这些领域，你可能能发现比数学书更有趣，也更容易找到工作的目标。

总结

最后，让我们用最上面那张导图总结全部内容，数学技能的提高是一个需要长期坚持的过程，从现在开始，行动起来！

建议

• 积极提问。当有问题出现时，如果可能的话，问老师，或者，如果没有，把问题写下来，稍后拿给他们。
• 保持前行的进度。不要在学习或作业上落后。因为数学内容是累积的，我们越落后，就越难掌握做必要工作所需的技能。
• 避免购买带下划线的二手教科书。已经包含别人笔记和下划线的书会(可能错误地)影响你对材料的吸收。
• 可汗学院 是公益型的数学网站。它有各种各样的游戏，包括代数、逻辑、数字等等。推荐你应该试试！

本文作者 [遇见数学核心成员] 墨水